CPT-021
Concept
trajectory optimization
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| updated | |
| type | concept |
| name | trajectory optimization |
| aliases | 轨迹优化, 轨迹优化问题, trajectory optimization problem |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
轨迹优化（trajectory optimization）指求解如下泛函优化问题的一类方法：选择控制量作为时间的函数 \(u(t)\)（以及相应的状态轨迹 \(x(t)\)），使系统在满足约束的前提下沿轨迹达到最优。与参数优化最小化 \(J(x)\)（有限维实向量）不同，轨迹优化最小化的是 \(J[f(t)]\)——函数空间远大于实数空间（PPR-004 §9.1）。系统的状态（state） 与控制（control） 均为时间函数；轨迹（trajectory）即二者随时间的取值（PPR-004 §1）。
一般形式（Bolza 形式，PPR-004 式 1.1）：目标由边界项（Mayer 项）与路径积分项（Lagrange 项） 组成，
其中 \(w\) 是目标函数的被积函数（integrand）。只有积分项称 Lagrange 形式，只有边界项称 Mayer 形式；PPR-004 的全部算例均为 Lagrange 形式。
决策变量（decision variable） 是求解器实际调整的量：初末时间 \(t_0,t_F\) 与状态、控制轨迹 \(x(t),u(t)\)（PPR-004 §1.4）。约束分类（PPR-004 式 1.2–1.9）：动力学 \(ẋ(t)=f(t,x(t),u(t))\)；路径约束 \(h(t,x(t),u(t))≤0\)；边界约束 \(g(t_0,t_F,x(t_0),x(t_F))≤0\)；状态/控制的路径界；初末时间与初末状态的界。满足全部约束的解称可行（feasible），对应控制称容许（admissible）；在可行解中最小化目标的解称最优（optimal）（PPR-004 §1.3）。
求解方法按“离散化在优化之前还是之后”分两支（PPR-004 §1.5、§9.4）：直接法先离散化原问题、通常转录（transcription）为非线性规划（CPT-022），再优化；间接法先解析构造最优性的必要/充分条件，再离散化并数值求解。PPR-004 聚焦直接法中的配点法（CPT-020）与打靶法（CPT-019），且限定单相、连续时间问题（§1.4）。
轨迹优化的解是开环解：一串作为时间函数的控制 \(u^*(t)\)，把系统从单一初始状态驱动到终态；实际部署需配稳定控制器（CPT-026）。
Disambiguation
- 与参数优化（parameter optimization）的实质区分：参数优化最小化 \(J(x)\)（实数向量），轨迹优化最小化泛函 \(J[f(t)]\)；前者搜索有限维空间，后者搜索函数空间，故后者更难（PPR-004 §9.1）。
- 与动态规划（dynamic programming）的实质区分：动态规划求最优策略（optimal policy）\(u(x)\)——对状态空间每个点给出最优控制，即闭环解；轨迹优化求单条轨迹的开环解。前者（基本形式）保证全局最优但随维数指数增长（维数灾难），后者可处理高维但只保证局部最优（CPT-026，PPR-004 §9.2）。
- 与“运动规划（motion planning）”区分：PPR-004 未使用该术语，本卡不做该对比（避免无锚点外推）。
- 直接法与间接法是本概念内部的方法分类（离散化时机），不是两个独立概念；其“配点 vs 打靶”的实现差异见 CPT-020 / CPT-019。
关联（24）
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- PPR-2605.31476 IDOL: Inverse-Dynamics-Guided Future Prediction for End-to-End Autonomous Driving
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- FRM-2212.10156 UniAD 五层重建（骨架）：核心对象是规划导向的模块化流水线——TrackFormer（检测 + 多目标跟踪，含显式 ego 查询）、MapFormer（地图全景分割）、MotionFormer（场景中心的多模联合预测，含 agent/场景锚与目标点交互）、OccFormer（保留实例身份的占用预测）四模块以统一 query 串联，Planner 以命令嵌入条件化 ego 查询输出轨迹，并在推理期用牛顿法按占用图避碰优化；公理层含『框架应面向规划这一终极目标设计』与『端到端下不可假设真值感知』。
- FRM-2406.06978 Hydra-MDP 五层重建（骨架）：核心对象是三范式对比下的多教师蒸馏——把『多模规划 + 单目标学习 + 不可微后处理』改为『多模规划 + 多目标学习』，在 VADv2 式固定词表上以模仿损失对齐人类、以离线仿真分数经 BCE 蒸馏规则教师，推理期按网格搜索权重组装子分数选轨迹；公理层含『仅模仿不足以关联环境』『不可微后处理基于不完美感知』『固定词表使离线批量仿真可行』。
- FRM-2503.05689 GoalFlow 五层重建（骨架）：核心对象是目标点引导的 rectified-flow 多模轨迹生成——从训练轨迹端点聚类出 4096/8192 目标点词表，用距离分与可行驶区分双分数选点，再以该点为条件经单步 rectified flow 生成轨迹，并用 shadow trajectory 检测不可靠目标点；公理层含『无约束生成易发散』『目标点构成强约束』与『扩散长路径不适合实时』。
- FRM-2605.31476 IDOL 五层重建（骨架）：核心对象是以逆动力学为桥梁的潜 BEV 世界模型规划——先用候选条件的潜 BEV 世界模型滚出多条候选未来潜状态序列，再用逆动力学模型对相邻潜状态解码出“空间动力学图（变化发生在哪）”与“全局动力学特征（整体变什么）”，以双分支融合（空间交叉注意力 + MLN 校准）把想象出的转移转成规划相关的查询更新，并用重锚定防迭代漂移；公理层含『仅预测未来不足以保证更好规划，除非预测演化能转成可执行运动更新』与『纯池化逆动力学特征对规划过粗』。
- CPT-019 shooting method
- CPT-020 collocation method
- CPT-022 non-linear program
- CPT-023 mesh refinement
- CPT-024 bang-bang control
- CPT-026 open-loop vs closed-loop solution
- DIS-003 术语“闭环”在本库的两个 referent 路由：控制论意义的闭环解/最优策略（CPT-026）与自动驾驶基准的闭环评估口径（BMK-003、BMK-006）。
- EX-001 直接配点法算例（最小功双积分器）：梯形配点 + 松弛变量把问题变成线性规划，N=10→160 网格下目标值 0.7958→0.76405 逼近解析 bang-off-bang 解的 0.763932，状态误差约按 O(h²) 下降，切换时刻收敛到 τ≈0.381966。
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-020 co-definer collocation method
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-023 co-definer mesh refinement
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-025 co-definer consistent function
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-027 co-definer slack variable
- CPT-028 co-definer Runge-Kutta method