CPT-023
Concept
mesh refinement
| id | |
|---|---|
| updated | |
| type | concept |
| name | mesh refinement |
| aliases | 网格细化, 网格自适应, hp-adaptive meshing, collocation mesh |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
网格细化（mesh refinement）是在一系列不同配点网格（collocation mesh，也称 collocation grid）上依次求解同一轨迹优化（CPT-021）问题的过程（PPR-004 §5.2）。配点约束在所得非线性规划（CPT-022）中等价于隐式 Runge–Kutta 积分格式（CPT-028），故与任何积分格式一样存在由时间步长与方法阶数决定的数值误差；细化策略的目标是以最少计算量获得最精确的解：初始网格粗（点少和/或阶低），求解容易但不准；后续网格更密/更高阶，计算更贵但更准。
细化方式有二：细分段（在误差大的段插入 2、3 或 4 个子段）或提高段内多项式阶（如由梯形配点切换到 Hermite–Simpson 配点）。依据段内误差剖面选择：误差尖峰则细分，否则升阶；这类算法称 hp 自适应网格（hp-adaptive meshing）（PPR-004 §5.2）。
误差估计（PPR-004 §5.3）：真解未知，但候选轨迹的动力学残差可算。定义
\[\varepsilon(t) = ẋ(t) - f\bigl(t,x(t),u(t)\bigr),\qquad \eta_k = \int_{t_k}^{t_k+1} |\varepsilon(\tau)|\,d\tau\]
其中 \(\varepsilon(t)\) 在配点上为零、其余处非零；\(\eta_k\) 是每段每维状态的误差积分，通常用 Rhomberg 求积计算。逻辑是：若配点之间动力学被准确满足，则多项式样条是系统的准确表示，从而 NLP 是原问题的准确表示。评估候选轨迹必须使用与方法一致的插值（method-consistent interpolation）。
Disambiguation
- 与网格细化（自适应有限元等）的通用含义区分：本卡按 PPR-004 的轨迹优化语境定义——细化对象是轨迹的时间离散网格，误差判据是动力学残差积分，不是 PDE 的空间网格。
- 与初始化（initialization）区分：初始化给求解器一个起点（§5.1），网格细化改变的是问题本身的离散化；二者都会影响收敛，但作用的数学对象不同（决策变量的初值 vs 决策变量的维数/阶数）。
- 与 hp 自适应区分：hp 自适应是网格细化的策略子类（细分段 vs 升阶的联合决策），不是另一条技术路线。
关联（15）
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- CPT-021 trajectory optimization
- CPT-022 non-linear program
- CPT-024 bang-bang control
- CPT-028 Runge-Kutta method
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-020 co-definer collocation method
- CPT-021 co-definer trajectory optimization
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-025 co-definer consistent function
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-027 co-definer slack variable
- CPT-028 co-definer Runge-Kutta method