CPT-027
Concept
slack variable
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| type | concept |
| name | slack variable |
| aliases | 松弛变量, slack variables |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
松弛变量（slack variable）是为实现函数一致性（CPT-025）或精确表示非光滑函数而引入的额外决策变量；其核心作用是把不连续从目标函数推到约束——求解器能正确处理约束中的不连续（PPR-004 §5.5、§8.5）。
以最小绝对功目标的 \(|u(t)v(t)|\) 为例（PPR-004 式 8.9–8.11）：引入两个松弛变量 \(s_1(t),s_2(t)\)，把目标改写为
\[\min \int_0^1 \bigl(s_1(\tau)+s_2(\tau)\bigr)\,d\tau\]
并加约束 \(0 \le s_1(t)\)、\(0 \le s_2(t)\)、\(s_1(t)-s_2(t)=u(t)v(t)\)。于是 \(s_1\) 表示绝对值参数的正部、\(s_2\) 表示负部的幅值，重写与原问题数学等价。
代价（PPR-004 §8.5）：解本身仍不连续，配点法无法精确表示（只能逼近）；每个 \(|\cdot|\) 在每个配点增加两个额外控制与三个额外约束，显著增大 NLP 规模；且松弛变量以路径约束形式实现，使 NLP 收敛更慢。
Disambiguation
关联（14）
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- CPT-024 bang-bang control
- CPT-025 consistent function
- EX-001 直接配点法算例（最小功双积分器）：梯形配点 + 松弛变量把问题变成线性规划，N=10→160 网格下目标值 0.7958→0.76405 逼近解析 bang-off-bang 解的 0.763932，状态误差约按 O(h²) 下降，切换时刻收敛到 τ≈0.381966。
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-020 co-definer collocation method
- CPT-021 co-definer trajectory optimization
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-023 co-definer mesh refinement
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-025 co-definer consistent function
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-028 co-definer Runge-Kutta method