CPT-020
Concept
collocation method
| id | |
|---|---|
| updated | |
| type | concept |
| name | collocation method |
| aliases | direct collocation, direct transcription, trapezoidal collocation, Hermite–Simpson collocation, orthogonal collocation, 配点法 |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
配点法（collocation method，在轨迹优化语境下也称 direct collocation）是求解轨迹优化问题的一类直接法：把连续时间的轨迹优化问题本身离散化，转录成非线性规划（NLP）——这一步称为转录（transcription），因此这类方法也叫 direct transcription 方法；离散化通过把问题中的连续函数逼近为多项式样条（polynomial spline）实现（PPR-004 §1.5）。
配点法的构造特征：状态与控制在各离散节点上都是 NLP 的决策变量，动力学被写成节点之间的缺陷约束（defect constraints）；这些约束在所得 NLP 中等价于隐式 Runge–Kutta 积分格式（CPT-028；PPR-004 §5.2）。按插值/求积的阶数，常见形式有：
- 梯形配点（trapezoidal collocation）：低阶，用梯形法则近似节点间的积分（PPR-004 §3）；
- Hermite–Simpson 配点：高阶，状态轨迹为三次样条、用 Simpson 求积近似积分，精度更高（PPR-004 §4）；
- 正交配点（orthogonal collocation）：配点取正交多项式（Chebyshev 或 Legendre）的根，用高阶多项式逼近，具谱收敛（spectral convergence）（PPR-004 §9.7）。
Disambiguation
- 与打靶法（CPT-019）的实质区分：配点把状态作为决策变量、动力学作节点间的代数缺陷约束；打靶用仿真产生轨迹、状态不是决策变量。这是“轨迹如何被确定、谁作优化变量”的区别，与积分/求积的阶数（精度轴）正交。
- 与 direct transcription 的关系：direct transcription 是把连续问题离散成 NLP 的统称，配点与打靶都是它的实例。PPR-004 既用“direct collocation” 指配点，又把单/多重打靶列为 “direct collocation techniques”（§1.5），故该教程中 “direct collocation” 一词有宽窄两义；本卡按窄义（状态为决策变量、动力学作缺陷约束）定义。
- 实例：Posa 等 2014（PPR-003）的接触刚体轨迹优化把多接触动力学写成线性互补问题、以带互补约束的数学规划（MPCC）+ SQP 求解，属直接转录路线的实例。
关联（17）
- PPR-003 A direct method for trajectory optimization of rigid bodies through contact
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- CPT-019 shooting method
- CPT-021 trajectory optimization
- CPT-022 non-linear program
- CPT-028 Runge-Kutta method
- EX-001 直接配点法算例（最小功双积分器）：梯形配点 + 松弛变量把问题变成线性规划，N=10→160 网格下目标值 0.7958→0.76405 逼近解析 bang-off-bang 解的 0.763932，状态误差约按 O(h²) 下降，切换时刻收敛到 τ≈0.381966。
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-021 co-definer trajectory optimization
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-023 co-definer mesh refinement
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-025 co-definer consistent function
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-027 co-definer slack variable
- CPT-028 co-definer Runge-Kutta method