CPT-028
Concept
Runge-Kutta method
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| updated | |
| type | concept |
| name | Runge-Kutta method |
| aliases | Runge-Kutta, Runge–Kutta, RK, RK4, 龙格-库塔方法, implicit Runge-Kutta, 隐式 Runge-Kutta |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
Runge–Kutta 方法（Runge–Kutta method, RK）是一族单步数值积分方法：把区间 \([t_k,t_{k+1}]\) 上若干中间点（级，stage）处的导数做加权组合来推进状态，
\[x_{k+1} = x_k + h\sum_{i=1}^{s} b_i f\bigl(t_k+c_i h,\ \xi_i\bigr),\qquad
\xi_i = x_k + h\sum_{j=1}^{s} a_{ij} f\bigl(t_k+c_j h,\ \xi_j\bigr)\]
系数 \((a,b,c)\) 通常写成 Butcher 表。当 \(a_{ij}\neq 0\) 且 \(j\ge i\) 时，各级 \(\xi_i\) 彼此耦合、需联立求解，称隐式（implicit） 格式；当 \(j\ge i\) 时 \(a_{ij}=0\)，各级可依次显式求出，称显式（explicit） 格式。方法的精度阶由系数满足的阶条件决定。
在轨迹优化语境中有两处用法（PPR-004）：
- 配点约束等价于隐式 RK：直接配点转录得到的约束，在所得非线性规划中等价于隐式 Runge–Kutta 积分格式（PPR-004 §5.2）。因此配点法的精度与稳定性可由对应 RK 格式刻画；梯形配点与 Hermite–Simpson 配点分别对应低阶与高阶的隐式格式（PPR-004 §3、§4 的阶数表述）。
- 打靶的仿真积分器：直接多重打靶用四阶 Runge–Kutta（RK4，显式）对每段轨迹做前向仿真推进状态（PPR-004 §1.1、附录 A 的 Matlab 代码库）。
Disambiguation
- 与配点法（CPT-020）的实质区分：配点法是转录方法——状态与控制进入决策变量、动力学写成节点间的缺陷约束；RK 是积分方法。二者的关系是“配点约束等价于某个隐式 RK 格式”（PPR-004 §5.2），不是同义；决策变量是否包含状态这一判据由转录方法决定，不由 RK 决定。
- 与打靶法（CPT-019）的实质区分：打靶法用积分器（如 RK4）前向仿真产生轨迹，状态不是决策变量；RK 只是其内部积分器。同一个 RK 格式可以服务打靶（仿真）或配点（缺陷约束）两种转录结构。
- 与欧拉法（Euler method）区分：欧拉法是 RK 的一级特例（单级、显式）；在本库的轨迹优化语境中，“配点法”与“RK 方法”混称会丢失转录结构这一判据，故两卡分列。
关联（15）
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- CPT-019 shooting method
- CPT-020 collocation method
- CPT-023 mesh refinement
- EX-001 直接配点法算例（最小功双积分器）：梯形配点 + 松弛变量把问题变成线性规划，N=10→160 网格下目标值 0.7958→0.76405 逼近解析 bang-off-bang 解的 0.763932，状态误差约按 O(h²) 下降，切换时刻收敛到 τ≈0.381966。
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-020 co-definer collocation method
- CPT-021 co-definer trajectory optimization
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-023 co-definer mesh refinement
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-025 co-definer consistent function
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-027 co-definer slack variable