FRM-004 Formalization

0. Overview

本文是 Kelly（SIAM Review 2017）直接配点（direct collocation）轨迹优化教程的形式化重建。教程的对象是单相连续时间轨迹优化问题（CPT-021）及其直接法求解：把连续问题转录（transcription）为非线性规划（CPT-022），用多项式样条近似连续函数，用配点约束（collocation constraints）在节点之间强制动力学（CPT-020）。核心问题：如何让读者能够自己实现直接配点——为此作者给出从一维玩具问题到双足行走的四个算例、两种配点方法、工程细节（初始化/误差分析/网格细化/调试/ 一致性）与实现代码。

边界：本文不展开 NLP 求解算法本身（引 [6][34][11]），不做实证级验证（DA8）；数值结果为单机单例观察。重建聚焦作者逻辑（AX/AR/TH 候选），投影（CLM/EVI）待 P3 与 G1 门后进行。

1. Definitions

术语绑定（CPT 为规范定义所在；未入库概念标 CANDIDATE，不新建 CPT）：

2. Axioms

作者接受而未证明的前提（不多不少；编号 AX-n 为本文档内编号）：

• AX-1（问题范围）本文只考虑单相、连续时间的轨迹优化问题——动力学在整条轨迹上连续；更一般的框架见 [51] 并仅在 §9.9 简述。
• AX-2（直接法路线）直接法先离散化再优化：把连续问题转录为非线性规划，这是本文全部方法的选择前提（§1.5–§1.6）。
• AX-3（样条近似）连续函数可用多项式样条近似；理由是多项式可由有限系数表示，且其积分与导数易于用这些系数计算（§1.5）。
• AX-4（配点约束的构造）节点之间的动力学约束由动力学积分形式的数值求积近似得到（§3.2、§4.2）。
• AX-5（阶数关系）若控制是 \(n\) 阶样条，则状态由 \(n+1\) 阶样条表示（引 [6]，§3.4）。
• AX-6（求解器要求）非线性规划求解器要求目标与约束函数一致（每次调用执行相同算术运算序列）（§5.5）。
• AX-7（求解器能力边界）NLP 求解器不能保证找到解；即使找到，也只保证局部最优（§5.1）。
• AX-8（全局最优判定）不存在判定全局最优的严格方法，实践中用“多初值/多转录方法收敛到同一解”等启发式（§5.4）。

3. Theorems

待 P3 投影回填（P2 骨架阶段只列候选命题标题，不复述内容）：

• TH-1（候选）梯形配点的插值阶数：控制为线性样条、状态为二次样条。锚点：§3.4、式 3.7–3.10。
• TH-2（候选）Hermite–Simpson 的中点状态可由节点状态显式表达，故分离形式（separated form）与压缩形式（compressed form）等价。锚点：§4.2、式 4.3–4.4。
• TH-3（候选）最小功块移动问题的解析解为 bang-bang 形式；当 \(u_{\max}<4\) 时问题不可行。锚点：§8.2、式 8.5。
• TH-4（候选）无控制界（\(u_{\max}\to\infty\)）时最小功解为脉冲。锚点：§8.2。
• TH-5（候选）\(|\cdot|\) 可用松弛变量做数学等价重写；\(\tanh\) 与平方根光滑近似分别从下、上两侧逼近 \(|\cdot|\)。锚点：§8.5–§8.6、式 8.9–8.13。

4. Evidence

待 P3 投影回填（P2 骨架阶段只列候选观察标题）：

• EV-1（候选）四个算例的数值结果与代价读数：块移动（解析解对照）、cart-pole 摆起、五连杆双足、最小功块移动（松弛变量 vs 光滑化的迭代数/求解时间对比，图 17）。锚点：§2、§6.8、§7.6、§8.7、图 9–17。
• EV-2（候选）误差估计与网格细化观察：cart-pole 与双足的动力学误差随段变化、集中在中段。锚点：§5.3、图 11、图 15。

5. Argument

重建作者的论证结构（AR-n：哪个观察/构造承重哪个判断）：

• AR-1（主转录链）连续时间轨迹优化问题 → 用多项式样条近似连续函数 → 用配点约束把动力学写成节点间代数约束 → 得到 NLP。这是全文主链：§1.5–§1.6 提出，§3（梯形）与 §4（Hermite–Simpson）各自实例化，§2 与 §6–§8 用算例演示。
• AR-2（阶数-精度-成本权衡）梯形配点把目标与动力学近似为分段线性，Hermite–Simpson 近似为分段二次，故后者高阶更准；同时状态轨迹成为三次 Hermite 样条、具有连续一阶导数。这是“更高阶换取更准”的论证（§4 开头、图 5）。
• AR-3（工程可行性论证）转录后的 NLP 要能解出来，取决于：初始化（§5.1）、网格细化与误差估计（§5.2–§5.3）、函数一致性（§5.5）、调试策略（§5.4）。这组论证把“方法正确”与“实现可收敛”分开——前者是数学转录，后者是数值工程。
• AR-4（不连续性论证）最小功算例暴露两类不连续：目标中的 \(|\cdot|\) 与解中的 bang-bang 切换。前者用松弛变量（等价）或光滑化（近似）处理，后者用网格细化或多相优化处理；图 17 以迭代数/求解时间展示精度-速度权衡。作者据此主张“光滑化会改变问题本身，必须做收敛测试”。
• AR-5（方法选择论证）不存在最优方法（§9.11）：间接法更准但更难；打靶适合动力学需算准而控制结构简单的情形；配点适合动力学与控制精度相当、控制结构未知的情形；接触/混合系统在多相与 through-contact 之间按“间断是否由接触力学引起、运动相序列是否已知”选择。
• AR-6（定位论证）轨迹优化给开环解，实机部署需配稳定控制器；动态规划给闭环解且（基本形式）全局最优，但受维数灾难限制（§9.2）。

6. Commentary

作者评论

• 初始化“更像艺术而非科学”；建议尝试多种初始化策略并检查它们是否收敛到同一解（§5.1）。
• 控制平方/力矩平方类目标倾向产生光滑轨迹，理由有二：转录方法假设解可由多项式样条良好近似；光滑轨迹更易用常规控制器稳定（§6.2、§7.3）。
• 光滑化根本性地改变优化问题且方式未必显然，必须对逐次减小的光滑参数做收敛测试（§8.6）。
• 网格细化的一般流程是先用较低阶方法求解、再做误差分析，据结果决定细分段还是升阶（§9.11）。
• 对混合系统，多相优化在多数情形更可取（更易计算、更准）；through-contact 适合间断源于接触力学且连续运动相序列未知的情形（§9.11）。
• 路径约束使问题显著更难（§3.3、§4.3）；冗余约束只会给 NLP 制造数值问题（§7.4）。
• 不一致函数（\(|\cdot|\)、\(\min\)、\(\max\)、随机数、变步长积分、迭代求根、表插值、时间步进仿真器）会显著破坏收敛（§5.5）。

本库评论

• 教程定位与时效：PPR-004 是 2017 年教程，数值生态已变化——文中求解器清单仅 FMINCON/SNOPT/IPOPT（表 2），未覆盖自动微分建模框架（如 CasADi）与现代求解器生态；本库引用其方法学内容时应以此为界。
• 数值证据强度：全部数值结果为单机单例观察（cart-pole 5.91 s/71 次迭代；双足两网格；最小功三网格 × 四处理），无重复实验或统计，按 DA8 属文献级验证的观察层，不足以支撑方法级优劣结论。
• 图 17 的解读边界：松弛变量 vs 光滑化的迭代数/时间对比是单一问题实例的观察，作者也仅表述为“该问题上”的权衡；外推为通用结论违反 A5（scope 控制）。
• 术语注意：教程中 “direct collocation” 有宽窄两义（窄义=配点，宽义含打靶），CPT-020 已记录；引用时须按语境取义。
• 未覆盖内容（超出教程范围，本 FRM 不主张）：实时性（QP 特例仅一句）、不确定性下的轨迹优化、学习型先验/数据驱动方法。

7. Traceability

Review Log

• 2026-09-09：P2 骨架完成（Definitions/Axioms/Argument/Commentary/ Traceability 齐备；Theorems/Evidence 为 P3 待投影候选）。
• 2026-09-09：G1 通过（签发：用户，DA7）。审核报告 _issues/frm-004-g1-review.md；三项裁决：① CPT-024/CPT-027 保留为独立概念（不以单来源降级）；② DIS-003 保留，不批量补路由（关键页面自带反向链接已够用）；③ TH→CLM 投影范围暂不定，P3 由用户主动发起（不在 P2 后自动开始，也不登记待办）。P2 至此交付，P3 待用户发起。