CPT-025
Concept
consistent function
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|---|---|
| updated | |
| type | concept |
| name | consistent function |
| aliases | 一致函数, 函数一致性, consistency (NLP functions) |
| defined-by | PPR-004 |
Definition
一致函数（consistent function）是非线性规划（CPT-022）求解器对用户提供的目标与约束函数的要求 ：函数在每次调用时执行完全相同的算术运算序列——等价于“没有逻辑分支、确定性、且输出随输入光滑变化”（PPR-004 §5.5，引 Betts）。SNOPT、IPOPT、FMINCON 等求解器依赖该性质计算梯度与海森矩阵。
常见的不一致来源（PPR-004 §5.5）：\(|\cdot|\)（原点处导数不连续）、\(\min()\)、\(\max()\)（峰值切换导致梯度跳变）、随机数生成器、变步长（自适应）积分、迭代求根、表插值（切换表项时导数不连续）。用时间步进仿真器（Bullet、Box2d）计算动力学同样引入不一致——其接触求解器不一致，导致 NLP 收敛差。
对策（PPR-004 §5.5、§8.5–§8.6）：
- 松弛变量（CPT-027）：把不连续从目标推到约束（求解器可处理约束中的不连续），可对 \(|\cdot|\)、\(\min\)、\(\max\) 做数学等价的重写；
- 光滑化：用可微近似替换（如 \(\tanh\)、\(\sqrt{x^2+\beta^2}\) 近似 \(|x|\)），简单快速但改变问题本身、损失精度，必须做收敛测试；
- 固定迭代/固定步长：求根用固定次数迭代，变步长积分改为定步长；
- 连续导数插值：表插值改用一阶/二阶导数连续的格式（求解器用梯度需 C1，用海森需 C2）。
Disambiguation
- 与“函数是光滑的”区分：一致性是更强的逐次调用可复现性要求（同一运算序列），而不仅是数学上的可微性；例如带分支但处处可微的函数仍可能不一致。
- 与松弛变量（CPT-027）区分：一致性是要求，松弛变量是实现该要求的手段之一（另有光滑化、定步长等）。
- 与数值精度区分：一致性关乎梯度信息是否稳定可用，不是解的精度高低；光滑化在改善一致性的同时降低解对原问题的忠实度。
关联（14）
- PPR-004 An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation
- FRM-004 Kelly（2017）直接配点轨迹优化教程的五层重建：以“连续问题→多项式样条近似→非线性规划”为主线，规范术语与约束分类（D），列出作者接受的前提（AX），重建从配点构造、插值、误差估计到网格细化与不连续性处理的论证链（AR），并分节记录作者评论与本库评论；Theorems/Evidence 层待 P3 投影回填。
- CPT-022 non-linear program
- CPT-024 bang-bang control
- CPT-027 slack variable
- CPT-019 co-definer shooting method
- CPT-020 co-definer collocation method
- CPT-021 co-definer trajectory optimization
- CPT-022 co-definer non-linear program
- CPT-023 co-definer mesh refinement
- CPT-024 co-definer bang-bang control
- CPT-026 co-definer open-loop vs closed-loop solution
- CPT-027 co-definer slack variable
- CPT-028 co-definer Runge-Kutta method